Soluciones

Escena: Ángulo central y ángulo inscrito

1. Cuando el ángulo central azul mide 90º, el ángulo amarillo mide 45º.

2. Cuando el ángulo central azul toma los valores 60º, 80º y 100º, el ángulo amarillo mide, respectivamente,  30º, 40º y 50º, es decir, para el mismo arco BC, el ángulo central azul siempre mide el doble que el correspondiente ángulo inscrito amarillo.

Escena: Posición 1 (O está en un borde del ángulo inscrito)

3. El triángulo AOB es isósceles porque AO y BO son radios de la misma circunferencia.

4. Los ángulos amarillos en A y en B son iguales porque son los ángulos opuestos a los lados iguales AO y BO del triángulo isósceles AOB.

5. La suma de esos dos ángulos amarillos es el ángulo suplementario del ángulo naranja porque la suma de los tres ángulos del triángulo AOB tiene que valer 180º.

6. El ángulo suplementario del ángulo naranja es el azul, ya que ambos forman el ángulo llano AOC.

Escena: Posición 2 (O está en el interior del ángulo inscrito)

7. Se puede deducir que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo, pues hacer el doble de una suma es lo mismo que sumar el doble de cada sumando.

Escena: Posición 3 (O está en el exterior del ángulo inscrito)

8. Se puede deducir que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo, pues hacer el doble de una diferencia es lo mismo que restarle al doble del minuendo el doble del sustraendo.

Conclusiones

9. De los tres casos (posiciones 1, 2 y 3) se puede deducir que siempre va a suceder que el ángulo central medirá el doble que el ángulo inscrito que abarque el mismo arco BC, puesto que O tiene que estar forzosamente en alguna de esas tres posiciones (o está dentro, o fuera, o en el borde del ángulo inscrito).

10. Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco BC miden lo mismo porque todos valen la mitad que el ángulo central que abarca BC.

Escena: Caso importante

11. El ángulo central azul mide 180º, y siempre vale lo mismo porque BC siempre es un diámetro.

12. El ángulo inscrito amarillo mide 90º y no varía al mover A. Se trata de un caso particular de lo planteado en la pregunta 9, ya que el ángulo central azul y el ángulo inscrito amarillo abarcan el mismo arco BC.

13. Dada una circunferencia, cualquier punto de ella formará con los extremos de cualquier diámetro un ángulo de 90 grados.

14. Cualquier triángulo inscrito en una circunferencia que tenga su diámetro como uno de los lados será un triángulo rectángulo.