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Lo que tiene en cuenta Tales es
la semejanza de triángulos: los lados correspondientes de dos triángulos
semejantes son proporcionales. En el momento en que la sombra mide lo mismo
que la propia altura, el ángulo de inclinación del sol es de 45º. Para
hallar en ese momento la altura de la pirámide lo único que debe hacer es
medir la longitud de su sombra, puesto que miden lo mismo.
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La razón entre la altura del
bastón y la longitud de su sombra es, en ese instante, 1/2. La longitud de
la sombra es el doble de la altura del bastón y esa misma relación se da
entre la longitud de la sombra de la pirámide y su altura. Por tanto la
pirámide mediría 124 m.
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En todos los casos son triángulos
rectángulos, en los que el ángulo A siempre es de 90º y el ángulo B no
varía. Por tanto todos los triángulos que se van obteniendo tienen los
ángulos correspondientes iguales. Por tanto son semejantes.
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En todos los casos se obtiene la
misma razón. La razón entre los dos catetos de los triángulos semejantes es
constante.
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Al cambiar el ángulo se obtiene
un valor diferente para la razón entre la altura del poste y la longitud de
su sombra.
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La tabla completa es la
siguiente (en algunas casillas son posibles diferentes resultados):
| Ángulo B (º) |
b (m) |
c (m) |
tg B |
| 25 |
3 |
6.44 |
0.47 |
| 30 |
3 |
5.20 |
0.58 |
| 50 |
5.96 |
5 |
1.19 |
| 56.31 |
6 |
4 |
1.5 |
| 26.57 |
3.05 |
6.10 |
0.5 |
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Por que los dos catetos tienen
la misma longitud.
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Los ángulos B y C son
complementarios. El cateto contiguo a uno de ellos es el opuesto al otro y
viceversa. Si la tangente de B es 0.42, la tangente de C es 2.38. Porque sus
tangentes son inversas.
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Se comprueban los resultados
del apartado 6 utilizando las funciones trigonométricas de la calculadora.
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La altura del árbol es de 16.5
m.
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El ángulo es de 38.14º.
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Hay dos soluciones: puede ser
un cartabón cuyos catetos sean 12.5 cm y 6.9 cm, o también 12.5 cm y 21.7
cm. Depende de que consideremos que el cateto de 12.5 cm es el contiguo o el
opuesto, respectivamente, al ángulo de 30º.