Soluciones

1. El ángulo marcado se mantiene constante en todos los rebotes, pues dos toques consecutivos en la banda forman, con el centro del círculo, un triángulo isósceles (los dos lados iguales son radios). Por tanto, el ángulo de salida de un rebote será siempre igual al ángulo de entrada del siguiente, que se reflejará, etc.

2. Al puntar exactamente al centro de la mesa la bola blanca volverá por donde ha venido, trazando un diámetro.

3. Para describir un cuadrado el ángulo interior en cada vértice deberá ser 90º, y por tanto el ángulo con el radio será la mitad, 45º.

4. El único triángulo que puede describir es el equilátero, con un ángulo de tiro de 30º.

5. El ángulo interior del hexágono es de 120º, así que el ángulo de tiro será de 60º.

6. El ángulo interior de la estrella es de 36º, así que el ángulo de tiro será de 18º.

7. Se puede deducir por ensayos, registrando distintos casos. Por ejemplo, para cerrar al cabo de 5 rebotes (pentágono regular), el ángulo complementario al de tiro debe ser 180º/5=36º, así que el ángulo de tiro será de 54º.
   
   Un razonamiento formal sería el siguiente. Dos toques consecutivos en la banda forman, con el centro del círculo, un triángulo isósceles (los dos lados iguales son radios). Llamando A al ángulo de tiro, el ángulo en el centro de la mesa de ese triángulo valdrá 180º -2A. Este ángulo tiene que ser un divisor de 360º:  180º-2A = 360º/N, es decir, 90º-A = 180º/N, donde N es el número de rebotes. Por lo tanto el ángulo complementario del ángulo de tiro debe ser un divisor de 180º y ese cociente nos da el número de rebotes necesarios para cerrar el ciclo.

8. Esa cuerda es tangente a un círculo que tiene el mismo centro que la mesa. Por ningún punto del interior de ese círculo pasará la bola blanca por muchos repotes que dé.