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El punto de Fermat F ocupa una
posición en el interior del triángulo cuando su ángulo mayor no alcanza los
120º y coincide con el vértice de ese ángulo en caso contrario. Nunca cae en
el exterior.
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(Se comprueba que la suma
siempre es mayor que la obtenida desde F, a no ser que P coincida con F.)
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Se ha unido mediante segmentos el
punto F con los vértices del triángulo ABC y se han trazado perpendiculares
por los vértices a esos segmentos. Estas perpendiculares forman un nuevo
triángulo A'B'C'.
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Cada uno de los tres ángulos mide
120º porque F es el primer punto isogónico y se encuentra en el interior del
triángulo, así que ve cada lado bajo el mismo ángulo de 120º.
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Cada ángulo interior del
triángulo A'B'C' mide 60º porque en cada cuadrilátero hay dos ángulos rectos y
otro de 120º, así que el cuarto ángulo ha de ser de 60º para que los cuatro
sumen 360º.
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Se cumple que AF + BF + CF = a' +
b' + c' porque la suma de las distancias de F a los lados y la suma de las
distancias de P a los lados debe ser la misma, ya que el teorema de Viviani
establece que esa suma es constante para cualquier punto del interior del
triángulo.
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Se cumple que a'
≤ AP, b' ≤ BP, c'
≤ CP porque, en cada caso, la distancia de P al lado es
la mínima longitud entre P y cualquier punto de ese lado.
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Tenemos que
AF + BF + CF = a' + b' + c' ≤ AP + BP + CP,
entonces, AF + BF + CF ≤ AP + BP + CP.
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La anterior
desigualdad demuestra que F es efectivamente el punto de Fermat porque se
cumple independientemente de la posición de P, así que la suma de las
distancias de F a los vértices es menor o igual que la suma de las distancias
a los vértices desde cualquier punto que elijamos.