Soluciones
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Tenemos que:
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Las distancias de ese punto a las
rectas de los lados no permanecen constantes al mover el punto.
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La suma de distancias de ese
punto a las rectas de los lados permanece constante al mover el punto por el
interior del triángulo.
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El valor de esa suma cambia al
variar el tamaño del triángulo.
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Cuando se mueve el punto fuera del
triángulo, la suma de distancias a las rectas de los lados no se mantiene
constante.
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Distinguimos primero entre puntos
interiores y exteriores al triángulo. En el caso de ser interior, consideramos
todas las distancias positivas, pero en el caso de que el punto elegido sea
exterior, tomamos como negativa cada distancia al lado opuesto al vértice cuyo
ángulo interior contenga a ese punto. La suma de estas distancias, con su
signo, es siempre constante para cualquier punto del plano.
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Tenemos que:
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La suma de las longitudes de a, b y c equivale a la altura
del triángulo.
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Cuando el punto se encuentra fuera del triángulo, la suma
sigue equivaliendo a la altura del triángulo siempre que se consideren
los signos negativos ya mencionados.
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Tenemos que:
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El área del triángulo ABC mide (L
h)/2.
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Las áreas de los tres triángulos
(rojo, amarillo y azul) miden (L a)/2, (L b)/2 y (L c)/2.
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De estas dos mediciones se deduce
el teorema de Viviani, basta igualar las expresiones para obtener que
a + b + c = h (que es constante).
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La suma constante es el producto
de la apotema por el número de lados, basta tomar como punto interior el
centro del polígono regular. Así, todas las distancias medirán lo mismo (el
valor de la apotema).
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(Se comprueba en la aplicación.)
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(Se comprueba en la aplicación.)
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