Soluciones

1. Se pueden construir a la vez las bisectrices interiores y exteriores con la herramienta Bisectriz, haciendo clic en cada para de lados.

2. Una vez trazadas las rectas de los lados, la herramienta "Distancia o Longitud" nos permite medir la distancia de cada exincentro a las tres rectas.

3. Los exincentros son los centros de las circunferencias tangentes (a un lado y las prolongaciones de los otros dos) porque los centros de estas circunferencias distan  lo mismo de los puntos de tangencia con los lados.

4. Como r = ABC/S, r_A = ABC/(S-a), r_B = ABC/(S-b) y r_C = ABC/(S-c) se tiene que:

   1. Dado un lado cualquiera, por ejemplo b, la cantidad (S-b) es la mitad de la diferencia entre la suma de los otros dos lados y b. Esa diferencia siempre es positiva, pero será menor cuanto mayor sea b. Y cuanto menor sea el denominador, mayor será el cociente ABC/(S-b). Por tanto, a mayor lado, mayor radio de circunferencia exinscrita.

   2. Dado un lado cualquiera, por ejemplo b, la cantidad (S-b) es siempre menor que S, así que el cociente ABC/(S-b) será siempre mayor que el cociente ABC/S.

   3. Según la fórmula de Herón, tenemos que ABC² = S (S-a) (S-b) (S-c). Sustituyendo en función de los radios, queda:  ABC² = ABC⁴/(r r_A r_B r_C). Despejando ABC, obtenemos que el área ABC es la raíz cuadrada del producto (r r_A r_B r_C).

   4. Hace falta probar que:
      
      ABC/(S-a) + ABC/(S-b) + ABC/(S-c) = ABC/S + abc/ABC
      
      O equivalentemente:
      
      ABC²/(S-a) + ABC²/(S-b) + ABC²/(S-c) = ABC²/S + abc
      
      Y usando la fórmula de Herón:
      
      S(S-b)(S-c) + S(S-a)(S-c) + S(S-a)(S-b)= (S-a)(S-b)(S-c)+ abc
      
      Simplificando, esto equivale a demostrar que 2S = a + b + c, lo que es cierto.