Soluciones
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Podemos construir las bisectrices
interiores con la herramienta Bisectriz, eligiendo tres puntos (el central el
vértice). Si elegimos dos rectas, obtendremos además las bisectrices
exteriores.
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Podemos usar la herramienta
"Distancia o Longitud" para comprobar que el incentro dista lo mismo de los tres lados.
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El incentro es el centro de la
circunferencia tangente a los tres lados porque el centro de esta
circunferencia dista lo mismo de los puntos de tangencia con los lados.
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La mayor circunferencia que cabe
dentro del triángulo ABC es la circunferencia inscrita, porque cualquier otra
circunferencia podría agrandarse alejándose de un vértice hasta tocar el lado
opuesto.
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El punto del triángulo ABC más
alejado de los lados es precisamente el incentro porque es el centro de la
mayor circunferencia contenida en el triángulo.
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Tenemos que:
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Esas dos partes son congruentes
porque tienen los tres ángulos iguales (triángulos rectángulos con en los que
otro ángulo es la mitad del valor del ángulo en el vértice, bisecado por la
bisectriz) y un lado común.
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Como los triángulos son
congruentes, las longitudes de sus lados son iguales, así que el perímetro
completo será a + b + c = (z + x) + (x + y) + (y + z) = 2 (x + y + z).
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De aquí se deduce lo que
queríamos demostrar, pues el área del triángulo ABC será r (x + y + z), y por
tanto, r = ABC/(x + y + z) = ABC/S, donde S es el semiperímetro del triángulo
ABC.
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