Soluciones

1. Porque el centro de esa circunferencia es el único punto equidistante de A, B y C. Para construir la circunferencia circunscrita se puede usar la herramienta "Circunferencia dados Tres de sus Puntos" o trazar las mediatrices.

2. El circuncentro es el centro (herramienta "Punto Medio o Centro") de la circunferencia circunscrita.

3. Todos los puntos que equidistan de A y B están en la mediatriz del segmento AB. Lo mismo ocurre con A y C, y con B y C. Por tanto, el punto que equidiste de A, B y C deberá estar en esas tres mediatrices a la vez.

4. Cuando el triángulo es isósceles el circuncentro estará en la altura del triángulo sobre el lado desigual, pues coincide con la mediatriz de ese lado.

5. En la circunferencia circunscrita, el ángulo central que abarque el lado mayor del triángulo ABC sin contener al tercer vértice mide el doble que el ángulo en ese vértice. Solo en el caso de que el ángulo central sea de 180º el circuncentro estará en un lado del triángulo. En ese caso, el ángulo en el tercer vértice será de 90º. Por tanto,  para que el circuncentro se sitúe en uno de los lados el triángulo ha de ser rectángulo, la circunferencia circunscrita tendrá por diámetro la hipotenusa, y el circuncentro coincidirá con el punto medio de la hipotenusa.

6. Para que el circuncentro quede fuera, el ángulo central debe ser mayor de 180º, lo que supone que el ángulo en el tercer vértice debe ser mayor que 90º, es decir, el triángulo debe ser obtusángulo.

7. El menor círculo es el determinado por la circunferencia circunscrita cuando el triángulo no sea obtusángulo y el que tiene el centro en el punto medio del lado mayor cuando el triángulo sea obtusángulo.

8. El mejor lugar en el caso de que la isleta tenga forma de triángulo obtusángulo será el punto medio del lado mayor, pues la mitad de ese lado es el radio del círculo más pequeño posible que abarque todo el triángulo.

9. Tenemos que: Vamos a demostrar que el radio R de la circunferencia circunscrita mide ab/2h, donde h es la altura sobre el lado c (o, equivalentemente, R es la razón entre el producto de los lados y 4 veces el área):

   1. El ángulo verde en A es igual al ángulo verde señalado en O porque el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco BC.

   2. El triángulo OBC es isósceles porque dos de sus lados son radios de la circunferencia circunscrita.

   3. El triángulo OA'C es rectángulo porque en un triángulo isósceles la mediana sobre el lado desigual coincide con la altura sobre ese lado.

   4. El triángulo azul es semejante al triángulo OA'C porque tienen sus ángulos iguales, ya que los ángulos verdes son iguales y ambos triángulos son rectángulos.

   5. Se deduce que sus lados son proporcionales, y en particular, h/b = (a/2)/R, de donde R = ab/2h, o equivalentemente, R = abc/(2ch) = abc/(4 ABC).