Soluciones
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Si el baricentro coincide con el
centro de gravedad, tendrá que estar situado en cada una de las medianas
porque cada mediana divide al triángulo en dos partes de igual área.
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Cada mediana divide al triángulo
en dos partes de igual área porque cada parte tiene la misma base (la mitad
del lado) y la misma altura.
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Tenemos:
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El segmento A'B' es paralelo al
lado AB y mide la mitad de ese lado porque los triángulos ABC y A'B'C son
semejantes con razón de semejanza 1/2.
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El segmento MN es paralelo al
lado AB y mide la mitad de ese lado porque los triángulos ABG y MNG son
semejantes con razón de semejanza 1/2.
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Por tanto A'B' y MN son paralelos
entre sí y de igual medida, por lo que el cuadrilátero azul es un
paralelogramo.
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Como las dos diagonales del
paralelogramo se cortan en su punto medio, GA' = GM = 1/2 GA.
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Al unir el baricentro G con los
lados se forman 3 tres triángulos cuyas áreas notaremos T1, T2
y T3. Cada mediana divide al triángulo ABC en dos mitades, cada una
comprendiendo uno de esos triángulos y la mitad de otro. Por tanto, T1
+ T2/2 = T2 + T3/2 = T3 + T1/2,
y de ahí T1 = T2 = T3. A su vez, cada uno de
estos triángulos está formado por dos triángulos de la misma área (igual base
y altura). Así que los 6 triángulos tienen la misma área.
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El triángulo medial es semejante
al triángulo ABC porque cada uno de sus lados es paralelo y de longitud la
mitad que el correspondiente lado de ABC.
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Como la relación de longitudes
entre el triángulo medial y el triángulo ABC es 1/2, la razón de áreas será su
cuadrado, 1/4.
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El triángulo medial del triángulo medial es homotético
al
triángulo ABC con centro de homotecia el baricentro G y factor de homotecia
1/4. Llamemos C'' al vértice correspondiente a C. Entonces la distancia de C''
a C es la mitad de C'C, que a su vez es 3/4 de GC. Por tanto, GC'' = 1/4 GC.
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