Soluciones

Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetrías de reflexión y rotación de orden 6.

2. El azulejo se ha dividido en doce partes, primero en 6 uniendo el centro del hexágono regular con los vértices y después cada parte en dos mitades por la apotema.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la apotema y después rota el conjunto 60º sucesivamente alrededor del centro de cada azulejo hexagonal. Esto se debe a que esas mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a la forma de crear el azulejo del grupo 14 (*333) pues ambos usan una reflexión y una rotación, pero se distinguen en la cantidad de espejos que aparecen por rotación.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del diamante equivalente al hexágono regular. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas) indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz. Otros cinco haces de rectas (amarillas) aparecen como consecuencia de la rotación del espejo en la construcción del azulejo.

7. Los ejes de reflexión desplazada se encuentran a medio camino entre dos ejes de reflexión paralelos y contiguos.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 60º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo.

10. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.

11. La copia rotada 60º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada rotación con centro en los puntos rojos es siempre 6. Cuando el ángulo sea un múltiplo de 60º la copia vuelve a coincidir con el original.

12. Se puede comprobar la independencia de los tres centros destacados.

13. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un centro de rotación de orden 6. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

14. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección. Lo mismo sucede con la reflexión vertical.

15. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión en esas direcciones. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esas mismas direcciones.

16. El grupo *632 tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, un conjunto de rotaciones de orden 6, otro de orden 3 y otro de orden 2, seis conjuntos de espejos (reflexiones) y otros seis de reflexiones desplazadas.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.