Un cuadro de clasificación de los 17
grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de
espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetría de
rotación de orden 6.
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El azulejo se ha dividido
en seis partes uniendo el centro del hexágono regular con los
vértices.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 60º sucesivas
veces en cada uno de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es
sometido a una rotación de orden 6 con centro de rotación en el centro
del azulejo. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite
repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del
diamante equivalente al hexágono regular. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar
una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos
traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de
los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de
rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos conjuntos de
centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el
mosaico.
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Al activar la casilla "Ejes de
reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado.
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No hay reflexiones desplazadas.
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Para que vuelva a coincidir con el
original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que
corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 60º la copia coincide
con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para
construir el azulejo. El único punto de la copia que coincide en todo el
proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.
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La copia rotada 60º coincidirá con
el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los
centros de rotación rojos, pues la simetría de rotación del azulejo se
transfiere a todo el mosaico. El orden de cada rotación con centro en los
puntos rojos es siempre 6. Cuando el ángulo sea un múltiplo de 60º la copia
vuelve a coincidir con el original.
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Se puede comprobar la
independencia de los tres centros destacados.
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Esta es una de las maravillas de
los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una isometría, la rotación de
orden 6. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al
componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de
rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación
gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al
original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa
simetría.
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El segmento violeta representa el
eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el
original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.
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Si efectuamos dos rotaciones de
60º seguidas de la copia obtenemos el original girado 120º, realizar 3
rotaciones equivale a realizar una de 180º, 20 rotaciones a no realizar una de
120º, 100 a realizar una de 240º. La composición de 1001 rotaciones de 60º
equivale a una rotación de 300º.
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Al componer, en cualquier orden,
una traslación con una rotación de orden 6 obtenemos una rotación de orden 6.
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El grupo 632 tiene como isometrías
las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, un conjunto de
rotaciones de orden 6, otro de orden 3 y otro de orden 2.
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Los mejores diseños libres suelen
ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de
traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.