Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetría
de reflexión y de rotación de orden 3.
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El azulejo se ha dividido
en seis partes, primero en tres uniendo el centro del hexágono regular con
vértices alternos y luego cada una de esas partes en dos mitades por
una diagonal que une esos vértices alternos.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja y el
conjunto rota 120º sucesivas veces en cada uno de los azulejos
alrededor de su centro, es decir, es sometido a una rotación de orden
3 con centro de rotación en el centro del azulejo. Esto se debe a que
esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta
cubrir el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a
la forma de crear el azulejo del grupo 14 (*333) pues ambos usan una
reflexión y una rotación de orden 3, pero se distinguen en la posición
de los espejos respecto al centro del azulejo.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del
diamante equivalente al hexágono regular. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar
una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos
traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de
los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparece un
conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas)
indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su
espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.
Otros dos haces de rectas (amarillas) aparecen como consecuencia de
la rotación del espejo en la construcción del azulejo.
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Los ejes de reflexión
desplazada se sitúan en medio de los ejes de reflexión.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 120º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de
igual forma para construir el azulejo.
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El único punto de la copia
que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el
extremo de la chincheta.
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La copia rotada 120º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
rotación con centro en los puntos rojos es siempre 3. Cuando el ángulo
es de 240º la copia vuelve a coincidir con el original.
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Se puede comprobar la
independencia de los dos centros destacados.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un
centro de rotación de orden 3. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 120º alrededor de los
vértices compartidos debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría en esa dirección. La copia coincide con el original porque el mosaico
tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría en esa dirección. La copia coincide con el original porque el mosaico
tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.
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El grupo 3*3 tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo,
las rotaciones de orden 3 sobre dos colecciones independientes de
centros de rotación (uno de ellos fuera de los espejos), tres
conjuntos de espejos (reflexiones) y tres conjuntos de reflexiones
desplazadas entre ellos.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.