Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetrías
de reflexión y rotación de orden 4.
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El azulejo se ha dividido
en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios
de lados opuestos paralelos) del rectángulo y cada una de esas partes
en dos mitades por una diagonal del azulejo.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la
diagonal de cada azulejo, y después rota el conjunto 90º
sucesivamente alrededor del centro de cada cuadrado. Esto se debe a que esas mismas
acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir
el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a la
forma de crear el azulejo del grupo 7 (*2222) pues ambos usan una
reflexión y una rotación, pero se distinguen en el orden de
la rotación.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del
azulejo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar
una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos
traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de
los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos
conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas)
indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su
espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.
Otros tres haces de rectas (amarillas) aparecen como consecuencia de
la rotación del espejo en la construcción del azulejo.
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Los ejes de reflexión
desplazada se encuentran a medio camino entre los ejes oblicuos de
reflexión.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 90º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado (o
pudo serlo) de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia
se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Las
rotaciones de los puntos rojos son de orden 4. El único punto de la
copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es
el extremo de la chincheta.
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La copia rotada 90º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
rotación con centro en los puntos rojos es siempre 4. Cuando el ángulo
es de 180º o 270º la copia vuelve a coincidir con el original.
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La copia rotada 180º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación verde, pues son centros de
orden 2. Cuando el ángulo es de 90º o 270º la copia no coincidirá con
el original.
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Se puede comprobar la
independencia de los tres centros destacados.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un
centro de rotación de orden 4. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión en esa misma dirección. Lo mismo sucede con la reflexión
vertical.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión en esa dirección. La
copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión en esa misma dirección.
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El grupo *442 tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo,
las reflexiones sobre cuatro conjuntos de espejos (formando 45º entre
ellos), dos conjuntos de reflexiones desplazadas perpendiculares y
tres
conjuntos independientes de rotaciones (con centros en los espejos),
dos de ellos de orden 4 y uno de orden 2.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.