Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetría
de rotación de orden 4.
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El azulejo se ha dividido
en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios
de lados opuestos paralelos) del cuadrado.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 90º
sucesivas veces en cada uno
de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una
rotación de orden 4 con centro de rotación en el centro del azulejo.
Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda
primitiva hasta cubrir el azulejo entero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del
azulejo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar
una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos
traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de
los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos
conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha
sido reflejado.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 90º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de
igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que
coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo
de la chincheta.
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La copia rotada 90º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
rotación con centro en los puntos rojos es siempre 4. Cuando el ángulo
es de 180º o 270º la copia vuelve a coincidir con el original.
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La copia rotada 180º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación verde, pues son centros de
orden 2. Cuando el ángulo es de 90º o 270º la copia no coincidirá con
el original.
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Se puede comprobar la
independencia de los tres centros destacados.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una
isometría, la rotación de orden 4. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no
coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión.
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Si efectuamos dos
rotaciones de 90º seguidas de la copia obtenemos el original girado
180º,
realizar 3 rotaciones equivale a realizar una de 270º, 20 rotaciones a no
realizar ninguna, lo mismo que 100. La composición de 1001 rotaciones
de 90º equivale a una rotación de 90º.
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Al componer, en cualquier
orden, una traslación con una rotación de orden 4 obtenemos una
rotación de orden 4.
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El grupo 442 tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo y
las rotaciones de orden 2 sobre cuatro colecciones independientes de
centros de rotación.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.