Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetrías
de rotación de orden 2, reflexión y reflexión desplazada.
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El azulejo se ha dividido
en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios
de lados opuestos paralelos) del rectángulo.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja
con desplazamiento en un eje entre la mediana y el lado de cada uno de
los azulejos y después el conjunto rota 180º. Esto se debe a que esas
mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta
cubrir el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a
la forma de crear el azulejo del grupo 7 (*2222) pues ambos usan una
reflexión y una rotación de orden 2, pero se distinguen en la
situación de los centros de rotación. Al quedar ahora el centro fuera
del espejo, no se genera un segundo espejo perpendicular al primero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado
correspondiente del rectángulo. Hay más direcciones (infinitas) en las
que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier
composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a
cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los que ocupan la posición sobre la que rotó
el motivo en cada azulejo, pero también aparece un
conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas)
indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su
espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.
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Los ejes (verticales) de
reflexión desplazada se encuentran a medio camino entre las medianas y
los lados.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 180º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia
se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Todas las
rotaciones son de orden 2.
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Se puede comprobar la
independencia de los dos centros destacados.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un
centro de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión en esa misma dirección.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión desplazada en esa misma dirección.
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Aunque en la construcción
del azulejo hayamos empleado solo una reflexión (horizontal) esto no
significa que el propio azulejo carezca de la otra reflexión
desplazada
(vertical). La posee debido a que la composición de una reflexión y
una reflexión desplazada perpendiculares equivale a la rotación de orden 2.
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Al componer, en cualquier
orden, una reflexión con una rotación de orden 2 con centro fuera del
espejo obtenemos una reflexión desplazada.
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El grupo 22* tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo,
las reflexiones con eje en la mediana y el lado paralelo, las reflexiones
desplazadas con ejes entre la otra mediana y el lado del azulejo, y
dos conjuntos independientes de rotaciones de orden 2.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.