Soluciones

Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetrías de rotación de orden 2 y reflexión desplazada.

2. El azulejo se ha dividido en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios de lados opuestos paralelos) del rectángulo.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja con desplazamiento en un eje entre la mediana y el lado de cada uno de los azulejos y después el conjunto rota 180º. Esto se debe a que esas mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado correspondiente del rectángulo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparece un conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada por el motivo no ha sido reflejado.

7. Los ejes (horizontal y vertical) de reflexión desplazada se encuentran a medio camino entre las medianas y los lados.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Todas las rotaciones son de orden 2.

10. Se puede comprobar la independencia de los dos centros destacados.

11. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay dos isometrías, la reflexión desplazada y la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.

13. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección.

14. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección.

15. Aunque en la construcción del azulejo hayamos empleado solo una reflexión desplazada (horizontal) esto no significa que el propio azulejo carezca de la otra reflexión desplazada (vertical). La posee debido a que la composición de dos reflexiones desplazadas perpendiculares equivale a la rotación de orden 2.

16. El grupo 22x tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones desplazadas con ejes entre las medianas y los lados del azulejo y dos conjuntos independientes de rotaciones de orden 2.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.