Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetría
de reflexión desplazada.
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El azulejo se ha dividido
en dos partes uniendo los puntos medios de dos lados opuestos
paralelos (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la
mediana de cada uno de los azulejos y se desplaza respecto al origina
siguiendo la dirección de la mediana. Esto se debe a que esa misma
acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el
azulejo entero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado
correspondiente del rectángulo.
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Hay más direcciones
(infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar
cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto
equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de
traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha
sido rotado.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha
sido reflejado (ha sido una reflexión desplazada, no una reflexión).
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El mosaico presenta
reflexiones desplazadas con ejes en las medianas.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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No existe ningún ángulo
(salvo 0º o 360º) en que la copia
coincida con el original porque el motivo decorativo no fue rotado.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión desplazada en esa misma dirección.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión desplazada en esa misma dirección. Este segundo eje,
paralelo al anterior, aparece al trasladar el azulejo porque una
traslación equivale a la composición de dos reflexiones desplazadas.
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Una traslación.
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Una composición de dos
reflexiones paralelas equivale a una traslación.
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El grupo xx tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo,
las reflexiones desplazadas sobre una de las medianas del azulejo y
las reflexiones desplazadas sobre el lado paralelo a esa mediana.
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La diferencia está en que
unos no poseen ningún tipo de rotación y los otros sí.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.