Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene simetrías
de reflexión y rotación de orden 2.
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El azulejo se ha dividido
en cuatro partes por las dos diagonales del rombo.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la
diagonal de cada uno de los azulejos, y después vuelve a reflejarse en
la otra diagonal o bien, equivalentemente, rota el conjunto 180º
alrededor del centro de cada rombo. Esto se debe a que esas mismas
acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir
el azulejo entero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual a la diagonal
correspondiente del rombo. Hay más direcciones (infinitas) en las que
se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición
usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier
combinación lineal de los vectores base de traslación). También
podríamos tomar como vectores de traslación los correspondientes a los
lados del rombo (la ventaja que tiene escoger como base las diagonales
es que son perpendiculares).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos
conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas)
indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su
espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.
El otro haz de rectas paralelas (amarillas) es perpendicular al
anterior.
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Esa línea será un eje de
reflexión desplazada.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 180º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado (o
pudo serlo) de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia
se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Todas las
rotaciones son de orden 2.
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El centro que no está
sobre espejos es el correspondiente al punto medio del lado del rombo.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay dos
isometrías, la reflexión y la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión en esa misma dirección. Lo mismo sucede con la reflexión
vertical.
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Aunque en la construcción
del azulejo hayamos empleado solo una reflexión (horizontal) esto no
significa que el propio azulejo carezca de la otra reflexión
(vertical). La posee debido a que la composición de dos reflexiones
perpendiculares equivale a la rotación de orden 2.
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Una composición de dos
reflexiones perpendiculares equivale a una rotación de orden 2.
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Una composición de una
reflexión y una rotación de orden 2 con centro en el espejo equivale,
en cualquier orden, a una reflexión en la dirección perpendicular. Si
el centro está fuera del espejo, equivale a una reflexión desplazada.
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El grupo 2*22 tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo,
las reflexiones sobre una de las diagonales del azulejo, las
reflexiones con desplazamiento sobre ejes situados a mitad de camino
entre los ejes de reflexión, y tres conjuntos independientes de
rotaciones de orden 2 (uno de ellos con centros fuera de los espejos).
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.