Soluciones

Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene forma de rombo. Al variar la posición del vértice, puede tomar como caso particular la forma de cuadrado, pero no de rectángulo no cuadrado porque el rombo tiene los lados de igual longitud.

2. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo dos vértices opuestos, es decir, por una diagonal.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la diagonal de cada uno de los azulejos, es decir, es sometido a una reflexión con eje en la diagonal. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual a la diagonal correspondiente del rombo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación). También podríamos tomar como vectores de traslación los correspondientes a los lados del rombo (la ventaja que tiene escoger como base las diagonales es que son perpendiculares).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido rotado.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.

7. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

8. No existe ningún ángulo (salvo 0º o 360º) en que la copia coincida con el original porque el motivo decorativo no fue rotado.

9. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.

10. La línea discontinua violeta indica el eje de reflexión desplazada. Basta desplazar la imagen con las flechas rojas hasta un vértice del rombo para que la copia coincida con el original.

11. Una reflexión con desplazamiento es una isometría que consiste en reflejar el motivo y después trasladar la copia.

12. La aparición de la reflexión desplazada en el mosaico se debe a que los centros de los rombos forman una red rectangular, mientras que sus vértices forman una red no rectangular. Esto provoca un "desplazamiento" de unos rombos sobre otros, un "zig-zag" de las filas de rombos, que origina la reflexión desplazada.

13. Una composición de dos reflexiones paralelas equivale a una traslación.

14. Una composición de dos reflexiones desplazadas sobre el mismo eje equivale a una traslación.

15. Una composición de una reflexión y una reflexión desplazada de ejes paralelos, en cualquier orden, equivale a una traslación.

16. El grupo *x tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones sobre una de las diagonales del azulejo y las reflexiones con desplazamiento sobre ejes situados a mitad de camino entre los ejes de reflexión.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.