Un cuadro de clasificación
de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de
rotación y número de espejos,
puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de
reconocimiento del grupo.
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El azulejo tiene forma de
romboide. Al variar la posición del vértice, puede tomar como casos
particulares forma de cuadrado, de rombo o de rectángulo (podría
también tomar forma de diamante si el punto verde tuviese más
libertad).
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El azulejo se ha dividido
en dos partes uniendo los puntos medios de dos lados opuestos
paralelos.
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Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 180º en cada uno
de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una
rotación de orden 2 con centro de rotación en el centro del azulejo.
Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda
primitiva hasta cubrir el azulejo entero.
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Los vectores indican las
direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso
mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del
azulejo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar
una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos
traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de
los vectores base de traslación).
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Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen tres
conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
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Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha
sido reflejado.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 180º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de
igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que
coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo
de la chincheta.
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La copia rotada 180º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
centro es siempre 2.
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El grupo 333 tendrá tres
centros independientes de rotación de orden 3, y el grupo 442 tendrá
tres centros independientes de rotación, dos de orden 4 y uno de orden
2.
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Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una
isometría, la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no
coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión.
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Al reflejarla
horizontalmente, las esquinas de
la copia (paralelogramo azul) no coinciden con las esquinas originales
porque el romboide no es simétrico respecto al eje horizontal (a no
ser que le demos el aspecto particular de un rectángulo).
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Si efectuamos dos
rotaciones de orden 2 seguidas de la copia obtenemos el original,
realizar 3 rotaciones equivale a realizar solo 1, 4 rotaciones a no
realizar ninguna, lo mismo 20 y 100. La composición de 1001 rotaciones
de orden 2 equivale a una rotación de orden 2.
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Una composición de
traslación y rotación (en cualquier orden) equivale a una rotación.
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El grupo 2222 tiene como
isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo y
las rotaciones de orden 2 sobre cuatro colecciones independientes de
centros de rotación.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.