Soluciones

Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene forma de romboide. Al variar la posición del vértice, puede tomar como casos particulares forma de cuadrado, de rombo o de rectángulo (podría también tomar forma de diamante si el punto verde tuviese más libertad).

2. Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.

3. Al juntarse todos los bordes unos con otros se forman dos haces de rectas paralelas (que establecen la trama del mosaico).

4. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" no sucede nada porque en el azulejo no se ha realizado ninguna simetría del motivo decorativo.

5. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del azulejo.

6. Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido rotado.

7. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 90º la copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría de rotación.

10. Al rotarla 180º la copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría de rotación.

11. Al rotarla 360º la copia coincide con el original porque una rotación de 360º equivale a una de 0º, es decir, equivale a mantener el original sin realizar ninguna acción (dicho de otra forma, el orden de rotación de todos los mosaicos es mayor o igual que 1).

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.

13. Al reflejarla horizontalmente, las esquinas de la copia (paralelogramo azul) no coinciden con las esquinas originales porque el romboide no es simétrico respecto al eje horizontal (a no ser que le demos el aspecto particular de un rectángulo).

14. Si efectuamos dos traslaciones seguidas de la copia obtenemos una traslación. La composición de dos traslaciones siempre es una traslación (o la identidad, es decir, equivale a no realizar ninguna acción).

15. El grupo o tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo.

16. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.

17. Antes de usar el color manual es recomendable realizar diversos y dispares diseños combinando el color automático con la activación y desactivación de la casilla Rastro.