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El azulejo se ha dividido
en cuatro partes uniendo los puntos medios de los dos lados horizontales (en adelante llamaremos
eje vertical a esta recta) y verticales (en adelante llamaremos
mediana a esta recta).
Las simetrías no dependen
del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo
cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos
simetrías que las que aparecen con el cisne.
Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja
la celda primitiva en el eje vertical de cada uno de los
azulejos y luego se rota 180º el conjunto. Esto se debe a que esa misma
acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el
azulejo entero.
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Los vectores indican la
dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo.
Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros
de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos,
pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también
aparece un conjunto de centros más debido a la repetición (por
traslación) del azulejo en el mosaico.
Al activar la casilla
"Ejes de reflexión" aparece el espejo de la mediana
(violeta) y los espejos de los ejes verticales (amarillo). Además de esos ejes aparecen
las rectas paralelas en medio de ellos, surgidos al trasladar el
azulejo.
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 180º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de
igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que
coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo
de la chincheta.
La copia rotada 180º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
centro es siempre 2.
Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una
rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de
traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo
se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen
nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia
coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por
reflexión en esa misma dirección.
El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia coincide con el original porque el mosaico
tiene simetría por reflexión en esa dirección.
El segmento discontinuo
rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La
copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión desplazada.
Al rotar la
reflexión horizontal el resultado es una reflexión vertical.
La composición de dos reflexiones perpendiculares equivale a una
rotación de 180º.
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El grupo *22∞
tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del
azulejo, las reflexiones sobre los ejes verticales y la mediana, y las
rotaciones sobre sobre los centros de los azulejos y los puntos medios
de sus lados verticales.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.