Soluciones

1. El azulejo se ha dividido en cuatro partes uniendo los puntos medios de los dos lados horizontales (en adelante llamaremos eje vertical a esta recta) y verticales (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
   
   Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.
   
   Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se rota 180º la celda primitiva y luego se refleja el conjunto en el eje vertical de cada uno de los azulejos. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

2. Los vectores indican la dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
   
   Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. En cada azulejo hay dos, pues usamos uno para girar el motivo y el otro aparece al reflejar el primero.
   
   Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece los ejes verticales (violeta) indicando el espejo o eje de reflexión. Además de esos ejes aparecen las rectas paralelas en medio de ellos, surgidas al trasladar el azulejo.
   
   Hay reflexiones desplazadas, resultado de la composición de la rotación y la reflexión.

3. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

4. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.
   
   La copia rotada 180º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada centro es siempre 2.
   
   Si efectuamos dos rotaciones de orden 2 seguidas de la copia obtenemos el original, realizar 3 rotaciones equivale a realizar solo 1, 4 rotaciones a no realizar ninguna, lo mismo 20 y 100. La composición de 1001 rotaciones de orden 2 equivale a una rotación de orden 2.

5. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.
   
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa dirección.
   
   El segmento discontinuo rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada.
   
   Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. Al componer la rotación con la reflexión vertical el resultado es una nueva isometría: la reflexión desplazada.

6. El grupo 2*∞ tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del azulejo, las reflexiones sobre los ejes verticales, las rotaciones sobre dos conjuntos de centros fuera de los espejos y las reflexiones con deslizamiento resultado de su composición.

7. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.