Soluciones

1. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo los puntos medios de los dos lados horizontales (en adelante llamaremos eje vertical a esta recta).
   
   Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.
   
   Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en el eje vertical de cada uno de los azulejos. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

2. Los vectores indican la dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
   
   Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido rotado.
   
   Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece los ejes verticales (violeta) indicando el espejo o eje de reflexión. Además de esos ejes aparecen las rectas paralelas en medio de ellos, surgidas al trasladar el azulejo.
   
   No hay reflexiones desplazadas.

3. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

4. Al rotarla 180º la copia no coincide con el original porque el motivo decorativo no fue rotado.
   
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.
   
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa dirección.

5. El segmento discontinuo rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión desplazada.
   
   Una composición de dos reflexiones sobre ejes paralelos equivale a una traslación.

6. El grupo *∞∞ tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del azulejo y las reflexiones sobre los ejes verticales.

7. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.