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El azulejo se ha dividido
en dos partes uniendo los puntos medios de los dos lados verticales (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
Las simetrías no dependen
del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo
cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos
simetrías que las que aparecen con el cisne.
Al activar la casilla
"Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 180º en cada uno
de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una
rotación de orden 2 con centro de rotación en el centro del azulejo.
Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda
primitiva hasta cubrir el azulejo entero.
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Los vectores indican la
dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo.
Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
Al activar la casilla
"Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del
mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros
de rotación del motivo decorativo. Pero también aparece un
conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del
azulejo en el mosaico.
Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el
motivo decorativo no ha sido reflejado (ha sido una reflexión
desplazada, no una reflexión).
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Para que vuelva a
coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un
azulejo. La isometría que corresponde
a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.
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Al rotarla 180º la copia
coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de
igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que
coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo
de la chincheta.
La copia rotada 180º
coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se
encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de
rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada
centro es siempre 2.
Esta es una de las
maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una
isometría, la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos
un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la
rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino
que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría
del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original
(traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto
medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía
esa simetría.
Si efectuamos dos
rotaciones de orden 2 seguidas de la copia obtenemos el original,
realizar 3 rotaciones equivale a realizar solo 1, 4 rotaciones a no
realizar ninguna, lo mismo 20 y 100. La composición de 1001 rotaciones
de orden 2 equivale a una rotación de orden 2.
Una composición de
traslación y rotación (en cualquier orden) equivale a una rotación.
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El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no
coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión.
El segmento violeta
representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia no
coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión.
El segmento discontinuo
rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La
copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por
reflexión desplazada.
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El grupo 22∞
tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del
azulejo y las rotaciones de orden 2 sobre dos colecciones
independientes de centros de rotación.
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Los mejores diseños libres
suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el
movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y
espejos cuando los haya.