Soluciones

1. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo los puntos medios de los dos lados verticales (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
   
   Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.
   
   Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la mediana de cada uno de los azulejos y se desplaza medio azulejo respecto al original siguiendo la dirección de la mediana. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

2. Los vectores indican la dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
   
   Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido rotado.
   
   Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado  (ha sido una reflexión desplazada, no una reflexión).
   
   El mosaico presenta reflexiones desplazadas con eje en la mediana.

3. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

4. Al rotarla 180º la copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría de rotación.
   
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.
   
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.

5. El segmento discontinuo rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección.
   
   Si efectuamos dos reflexiones desplazadas seguidas de la copia obtenemos una traslación. La composición de dos reflexiones desplazadas siempre es una traslación.

6. El grupo ∞x tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del azulejo y las reflexiones desplazadas sobre la mediana.

7. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.