Soluciones
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Un cisne es el original y
es el único que se puede mover, otro (más claro) es el resultado de
aplicar la primera isometría y el tercero es el resultado final de
aplicar ambas isometrías, que en este caso conserva la misma
orientación (y por tanto el color) que el cisne original.
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Se realiza primero la
correspondiente al vector azul. Al activar la casilla Permuta, cambia
el orden de la composición. La composición de dos traslaciones es
conmutativa.
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En este caso conserva la
misma orientación (y por tanto el color) que el cisne original, pero
la composición no es, en general, conmutativa (a no ser que compartan
el mismo centro de giro).
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La tabla queda así:
Composición |
¿Conserva la
orientación?
(Sí, No) |
¿Es conmutativa?
(Sí, No) |
T T
o T T |
Sí |
Sí |
G T o
T G |
Sí |
No |
S T o
T S |
No |
No |
D T o
T D |
No |
No |
G G o
G G |
Sí |
No |
S G o
G S |
No |
No |
D G o
G D |
No |
No |
S S o
S S |
Sí |
No |
D S o
S D |
Sí |
No |
D D o
D D
|
Sí |
No |
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Las traslaciones forman un
grupo propio, pues existe neutro (trasladar 0 unidades), la traslación
contraria a una dada es la que posee el vector igual pero en sentido
opuesto y al componer dos traslaciones se obtiene otra traslación
(suma de los vectores correspondientes).
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Los giros forman un grupo
propio, pues existe neutro (giro de 0º), el giro contrario a uno dado
es el que posee el mismo centro y ángulo igual pero en sentido opuesto
y al componer dos giros se obtiene otro giro (esto no es evidente,
pero se puede comprobar más adelante).
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Las simetrías axiales y
las reflexiones desplazadas no pueden formar grupo porque cambian la
orientación, así que al componer dos de ellas cualesquiera volvemos a
la orientación original, lo cual solo es posible mediante un giro o
una traslación.
Composición de... |
¿Forman grupo?
(Sí, No) |
Solo traslaciones |
Sí |
Solo giros |
Sí |
Giros con traslaciones |
Sí |
Solo simetrías axiales |
No |
Solo reflexiones desplazadas |
No |
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La isometría contraria a
una simetría axial es ella misma.
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La isometría contraria a
una reflexión desplazada es otra reflexión desplazada.
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Reinicia la aplicación.
Activa la casilla Buscar. El pequeño deslizador verde que aparece te
permite elegir la isometría (T,
G, S
o D). El cisne verde es el
resultado de aplicarla. Modifica el vector verde hasta que el cisne
verde coincida con el cisne resultado de la composición. Con ello,
habrás comprobado que la composición de dos traslaciones es otra
traslación. Haz lo mismo con el resto de las composiciones y cubre la
siguiente tabla. Te ayudará tener en cuenta la orientación del cisne
resultado de la composición (pregunta 4).
Composición |
La isometría
resultante, en general, es...
(T, G, S o D) |
T T
o T T |
T |
G T o
T G |
G |
S T o
T S |
D |
D T o
T D |
D |
G G o
G G |
G |
S G o
G S |
D |
D G o
G D |
D |
S S o
S S |
G |
D S o
S D |
G |
D D o
D D
|
G |
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De todo lo anterior, se
deduce que las cuatro isometrías forman un grupo, porque la
composición de dos cualesquiera es otra isometría (respuesta
anterior), existe neutro (respuesta 5 o 6) y cualquier isometría tiene
una contraria (respuestas 5, 6, 8 y 9).
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