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El signo
positivo corresponde al sentido antihorario.
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Efectivamente, la curva tiene simetría rotacional de orden 5, como se
comprueba con el repintado.
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Al elevar el número
de Volantes a 4 y a 5 y repetir el proceso anterior se observa que se sigue
conservando la simetría rotacional del orden 5.
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Al elevar el
número de Volantes a 6 y repetir el proceso anterior se observa que ahora
no se conserva la simetría rotacional del orden 5.
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Las velocidades
válidas del sexto volante que devuelven la simetría rotacional de orden 5
al trazado son -19 más cualquier múltiplo de 5: -19, -14, -9, -4, 1,
6, 11 y 16.
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Efectivamente,
al igualar todas las velocidades el trazado es siempre circular.
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Volantes = 2, v1
= 1, v2 = 0. Como el punto del segundo volante no gira, siempre
se encuentra en la misma posición respecto al centro del volante, así que su
recorrido es el mismo que ese centro, solo que trasladado por el
radio del segundo volante.
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Volantes = 2, v1
= 1, v2 = -1. Al girar en sentido contrario, hay momentos en los
que el punto del segundo volante invade el interior del primer volante y
otros en los que se aleja hacia el exterior. Esto origina la aparición de
una "excentricidad" (la circunferencia se transforma en elipse).
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Volantes = 2, v1
= 1, v2 = -1, r1 = r2. Al igualar los
radios, la elipse degenera en un segmento recto, ya que en ese caso el punto
del segundo volante se encuentra en el vértice de un rombo opuesto al
que ocupa el centro del primer volante. Por tanto, se moverá siempre en la
diagonal horizontal de ese rombo.
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Volantes = 2, v1
= 1, v2 = -1, r1 = r2. Cuando f2 toma los valores 90º,
180º y 270º, el punto del segundo volante avanza esos ángulos, provocando
que el trazado gire justo la mitad de su valor (45º, 90º y 135º).
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Se trata de
jugar un poco con las figuras y observar las diferentes formas que se pueden
obtener.
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Se trata de
jugar un poco con las figuras y observar las diferentes formas que se pueden
obtener.
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Los valores son
todos del tipo (n, n + 5k).
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La ley para que
el trazado tenga simetría rotacional de orden 5 es que la diferencia de
cualquier par de velocidades sea múltiplo de 5. Dicho de otra forma,
todas las velocidades deben dejar el mismo resto al dividirlas entre 5. O si
se prefiere, todas las velocidades marcan la misma hora en un reloj de 5
horas, o bien, todas ellas son congruentes módulo 5.
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La ley para que
el trazado tenga simetría rotacional de orden N es que la diferencia de
cualquier par de velocidades sea múltiplo de N. Dicho de otra forma,
todas las velocidades deben dejar el mismo resto al dividirlas entre N. O si
se prefiere, todas las velocidades marcan la misma hora en un reloj de N
horas, o bien, todas ellas son congruentes módulo N.
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La ley es
independiente del número de volantes.
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La simetría
rotacional es independiente de los radios y fases.
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El sexto volante
debe tener velocidad -16, 1 o 18.
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Como 1, 2 y 3 no
son congruentes módulo 2, ni 3, ni cualquier otro módulo, ya que la
diferencia entre 1 y 2 no coincide con la diferencia entre 1 y 3, nunca
provocarán la aparición de una simetría rotacional de ningún orden, sea cual
sea la velocidad del cuarto volante (o quinto, o sexto...).
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Las coordenadas (x, y) del punto que gira en el tercer volante son:
x = r1 cos(v1 t) + r2 cos(v2
t + f2) + r3 cos(v3 t + f3)
y = r1 sen(v1 t) + r2 sen(v2
t + f2) + r3 sen(v3 t + f3)