Soluciones
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Se trata de familiarizarse con
la aplicación y de percibir que al mover el punto amarillo varía el área de
la cruz inscrita en el cuadrado.
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El área se puede calcular
empleando diferentes estrategias. Incluso cabe la posibilidad de contar
cuadraditos o medios cuadraditos aprovechando la trama cuadrada sobre la que
se representa el cuadrado. Cuando x=1 cm el área de la cruz es de 26 cm2.
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El área de la cruz es de 40 cm2
cuando x=2 cm.
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Para x=3 cm el área de la cruz
es de 42 cm2. Se trata ahora de valorar las estrategias
utilizadas para encontrar la solución de los casos propuestos. Algunos
procedimientos no serán válidos cuando se trata de encontrar el área para un
valor cualquiera de x (por ejemplo quienes hayan contado cuadraditos o
medios cuadraditos verán que su método ahora ya no resulta eficaz). Al
activar la ayuda se sugiere un método de cálculo que se basa en restar al
área del cuadrado en el que se inscribe la cruz las áreas de los triángulos
dibujados en los espacios del cuadrado que no ocupa la cruz.
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La tabla completa, que se puede
comprobar con la aplicación, es la siguiente:
Distancia al vértice (cm) |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
Área de la cruz (cm2) |
0 |
14.5 |
26 |
34.5 |
40 |
42.5 |
42 |
38.5 |
32 |
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Se comprueba el resultado
anterior activando las casillas indicadas.
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Todos los triángulos son
rectángulos e isósceles, por lo que resulta muy sencillo el cálculo de su
área. Los catetos de los triángulos verdes miden x, por lo que su área será:
x2/2. Por tanto, el área total de los triángulos verdes será: 4·x2/2
= 2x2. Los catetos de los triángulos amarillos y marrones (que
son iguales) miden 4-x, por lo que su área será: (4-x)2/2. Como
son 8, el área total de los triángulos amarillos y marrones será: 8·(4-x)2/2
= 4(4-x)2. Por tanto, el área de la cruz será:
64 - 2x2
- 4(4-x)2 = 32x - 6x2
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La aplicación permite comprobar
la gráfica.
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La función está definida entre
x=0 y x=4. El máximo valor del área se corresponde con el máximo de la
función, que se alcanza en el vértice de la parábola. Moviendo el punto
amarillo se puede encontrar la solución aproximada (2.67, 42.67): el área
máxima, que es de 42.67 cm2, se alcanza cuando el vértice
de la cruz está situado a 2.67 cm del vértice del cuadrado. El área de la
cruz toma valores comprendidos entre 0 y 42.67 cm2.
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Partiendo de la expresión
algebraica podemos hallar con más precisión las coordenadas del vértice, que
nos indicarán la distancia del vértice de la cruz al vértice más próximo del
cuadrado (8/3 cm) para la que se obtiene el área máxima de la cruz (384/9 cm2).
Primero hallamos los puntos de corte de la parábola con el eje OX. A
continuación promediamos los valores encontrados para obtener la abscisa del
vértice. Por último, con la expresión algebraica podemos calcular la
ordenada del vértice:
32x - 6x2
= 0 ---> x1=0, x2=16/3 --->
xv=8/3 ---> yv=384/9
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