Soluciones
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Para que el valor de "a" sea positivo,
el punto A debe situarse por encima del eje OX, por debajo para que sea
negativo y en el propio eje para que sea cero.
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El ángulo que formará la recta
con la horizontal cuando A se encuentre en la posición (1, 1) es de 45º.
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Esos dos triángulos se han
obtenido rotando 90º y -90º el primer triángulo.
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Las coordenadas de uno
de esos triángulos son O, (0, 1), (a, -1) y las del otro O, (0, -1), (-a, 1)
porque girar 90º (en cualquier sentido) el triángulo original, equivale a
intercambiar los ejes de coordenadas, es decir, permutar abscisa y ordenada,
por lo que el punto (1, 0) pasa a ser el (0, 1) o el (0, -1) y el punto (1, a)
pasa a ser el (a, -1) o el (-a, 1), dependiendo de los signos propios de cada
cuadrante.
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Los puntos (a, -1) y (-a, 1) son
simétricos respecto a la recta roja porque ambos proceden de rotar 90º, en
sentidos opuestos, el punto (1, a).
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Efectivamente, después de
suprimir las raíces queda:
(x - a)2 + (y + 1)2 = (x + a)2 + (y - 1)2.
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Desarrollando: x2 - 2a
x + a2 + y2 + 2y + 1 = x2 + 2a x + a2
+ y2 - 2y + 1, de donde 4y = 4a x, es decir, y = a x.
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La pendiente de la recta que, además de pasar por el
origen, pasa por el punto (1, 3) es 3, pues al avanzar 1 se asciende 3. De la que pasa por el punto (2, 8)
es 4, pues por cada unidad que se avanza se asciende 8/2. De la que pasa por
(-2, 6) es -3 porque por cada unidad que se avanza desde (-2, 6) a (0, 0) se
desciende 6/2.
Nota: La
razón trigonométrica que corresponde a la pendiente es la tangente del ángulo
(positivo o negativo) que forma la recta con la horizontal.
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