Soluciones
Funciones pares: simetría
respecto al eje OY
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La relación es y = a x2 +
b x + c.
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Las coordenadas del punto
reflejado P' son (-x, a (-x)2 + b (-x) + c) = (-x,
a x2 - b x + c).
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La ecuación es g(x) = a x2
- b x + c.
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Ambas gráficas coinciden siempre
que b = 0.
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De la igualdad b x = 0 se
deduce que b = 0 porque esa igualdad debe cumplirse para cualquier valor de x,
así que basta coger x = 1. Otra forma de razonarlo es observando que la recta
y = b x solo puede coincidir completamente con la recta y = 0 cuando tengan la
misma pendiente b = 0.
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Para que sea simétrica con
respecto al eje OY una función f debe cumplir f(-x) = f(x) para todo valor de
x.
Simetría respecto al eje OX
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Las coordenadas del punto
reflejado P' son (x, -(a x2 + b x + c)) = (x, -a
x2 - b x - c).
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La ecuación es g(x) = -a x2
- b x - c.
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Ambas gráficas coinciden solo
cuando a = b = c = 0.
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De la igualdad a x2 +
b x + c = 0 se deduce que a = b = c = 0 porque esa igualdad debe cumplirse
para cualquier valor de x. Para x = 0, tenemos que c = 0. Para x = -1, a = b.
Para x =1, a + b = 0. Entonces 2a = 0, y por tanto a = b = c = 0. Otra
forma de razonarlo es observando que la parábola y = a x2 + b x + c
solo puede coincidir completamente con la recta y = 0 cuando todos sus
monomios sean nulos.
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No puede haber otras funciones
simétricas respecto al eje OX por la propia definición de función, que impide
que un valor x pueda tener dos imágenes distintas. Si la función es simétrica
respecto a ese eje entonces para un mismo x tendremos que f(x) y f(-x) serán
opuestos. La única forma de que no sean distintos, siendo opuestos, es que
sean nulos.
Funciones impares: simetría
respecto al origen de coordenadas
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Las coordenadas del punto
reflejado P' son (-x, -(a (-x)2 + b (-x) + c)) =
(-x, -a x2 + b x - c).
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La ecuación es g(x) = -a x2
+ b x - c.
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Ambas gráficas coinciden siempre
que a y c sean cero.
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De la igualdad a x2
+ c = 0 se deduce que a = c = 0 porque esa igualdad debe cumplirse para
cualquier valor de x, así que basta coger x = 0 y x = 1.
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Para que sea simétrica con
respecto al origen de coordenadas una función f debe cumplir f(-x) = -f(x) para todo valor de
x.
Funciones mutuamente
recíprocas o inversas
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Las coordenadas del punto
reflejado P' son (y, x).
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La parábola azul no es la gráfica
de una función porque existen valores de x que tienen dos imágenes distintas.
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La forma explícita es y = x/2.
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La función inversa de f(x) = x/3
- 1 es x = y/3 -1, es decir, y = 3x + 3.
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Las funciones lineales f(x) = x,
f(x) = -x y las funciones de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x, f(x) = -1/x
tienen como característica especial común que son recíprocas de sí mismas, es
decir, al aplicarlas dos veces obtenemos la identidad.
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