Soluciones

1. Pueden comprobarse los resultados con la aplicación.

2. La expresión general (Φⁿ = a_n Φ+a_n-1) también puede comprobarse con la aplicación.

3. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por Φ, por lo que es una progresión geométrica. Además, en el ejercicio anterior hemos deducido que Φⁿ = a_n Φ + a_n-1, expresión en la que a_n se refiere al término que ocupa el lugar n en la sucesión de Fibonacci. Por tanto:

Φ^n-1 = a_n-1 Φ+a_n-2

Φ^n-2 = a_n-2 Φ+a_n-3

Φ^n-1 + Φ^n-2 = a_n-1 Φ +a_n-2 + a_n-2 Φ + a_n-3 = (a_n-1+a_n-2)Φ + (a_n-2+a_n-3) = a_n Φ+a_n-1 = Φⁿ

por tanto, cada término, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores, por lo que se trata también de una sucesión de Fibonacci.

4. Se trata de ver que se obtienen los términos de la sucesión generalizada de Fibonacci a_n=p·a_n-1+q·a_n-2.

5. Desplazando el deslizador vertical se pueden comprobar los resultados.

6. Al ir aumentando n, el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci se aproxima rápidamente a Φ.

7. Desplazando el deslizador vertical se pueden comprobar los resultados.

8. Al ir aumentando n, el cociente entre dos términos consecutivos de esta sucesión generalizada de Fibonacci se aproxima rápidamente al número de plata, σ_2,1.

9. El número de níquel se obtiene con p=1 y q=3. El cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión también tiende a σ_1,3.

10. En este caso debemos fijar los deslizadores de modo que p=2 y q=2.  El cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión tiende ahora al número de platino, σ_2,2.

11. El cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión generalizada de Fibonacci de término general a_n = p a_n-1 + q a_n-2 tiende al número metálico σ_p,q.

12. La sucesión se obtiene con p=2 y q=3. Por tanto está relacionada con el número metálico σ_2,3.