Soluciones

  1. Cualquiera que sea el valor de N la población se extingue al cabo de unos años cuando λ<1.

  2. Siendo λ<1, cuanto más se aproxima a 1 el índice de vitalidad, más lentamente va disminuyendo la densidad de población. Cuando λ=1 la población también se extingue, aunque N se va acercando a 0 muy lentamente.

  3. La densidad de población al cabo de 3 años es N=0.21672. La densidad de población tiende a estabilizarse en torno a N=0.33333.

  4. Al cabo de muy pocos años, cualquiera que sea el valor de N (siendo 0<N<1), la densidad de población se mantiene constante: N=0.33333.

  5. En todos los casos la población se estabiliza en torno a un valor que solamente depende de λ.

  6. Los valores que se obtienen son los siguientes:

Índice de vitalidad (λ) 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75
Atractor (a) 0.2 0.33333 0.42857 0.5 0.55556 0.6 0.63636

La relación entre el valor del atractor a y el índice de vitalidad λ es:

 

  1. Conforme vamos aumentando el valor de λ observamos que aparece un comportamiento periódico. Por ejemplo, para λ=3 la población se estabiliza alternadamente en valores cercanos a 0.69 y 0.64, respectivamente. Conforme λ se va aproximando a 3.5 sigue habiendo un comportamiento periódico, pero ahora en torno a 4 valores. Por ejemplo, si λ=3.5 la población se estabiliza alternadamente en valores cercanos a 0.383, 0.827, 0.501 y 0.875, respectivamente.

λ=3 λ=3.5

  1. Cuando λ va tomando valores mayores que 3.5 enseguida aparece un comportamiento caótico. Una variación de una centésima en el valor de λ provoca resultados completamente diferentes en N, como se puede observar en las siguientes imágenes que corresponden a λ=3.67 y λ=3.68, respectivamente. Para un mismo valor de λ también se obtienen resultados muy dispares al variar la densidad de población inicial:

λ=3.67  N=0.5 λ=3.68  N=0.5
λ=3.67  N=0.8 λ=3.68  N=0.8

  1. Cuando λ>4 se obtienen resultados disparatados: aparecen valores negativos, lo cual resulta imposible en el contexto en el que se aplica la ecuación (N representa una densidad de población, que no puede tomar valores mayores que 1 ni menores que 0). Por tanto, cuando λ>4 el modelo no se puede aplicar. En definitiva, el índice de vitalidad λ toma valores comprendidos entre 0 y 4. Dentro de ese intervalo se producen situaciones deterministas, periódicas o caóticas para la densidad de población, en función del valor que toma el índice de vitalidad.