Punto fijo

Imagina dos trapos iguales. Lavas uno y lo pones, arrugado, encogido y deformado sobre el otro. Pues bien, se puede demostrar matemáticamente que al menos un punto del trapo arrugado ocupa la misma posición que el correspondiente punto del trapo liso.

 

Sin embargo, aunque sabemos que existe ese punto, la demostración no arroja ninguna pista sobre cómo encontrarlo. ¡Curiosidades de las matemáticas: podemos saber que existe pero no dónde!

 

La cosa es más sencilla si el trapo encogido conserva la forma. En esta actividad partimos de dos trapos (o dos trozos de papel) rojo y azul, con el mismo tamaño y forma de cuadrilátero. Encogemos el azul, sin variar su forma (solo su tamaño) y lo colocamos sobre el rojo: entonces podemos garantizar que hay un punto (esta vez solo puede haber uno) que no ha cambiado de posición, es decir, un punto fijo.

Preguntas

  1. Mueve los siete puntos, mueve los deslizadores y activa la casilla "Punto fijo". Juega un poco con todos esos elementos para familiarizarte con la construcción. En todas las preguntas siguientes debes colocar los puntos de forma que el cuadrilátero azul esté completamente dentro del rojo. Después, pulsa el botón Reiniciar .

  2. Mueve el deslizador verde. ¿Qué efecto produce?

  3. Si el deslizador verde toma el valor k=0.5, ¿cuánto vale el área del cuadrilátero azul respecto al área del cuadrilátero rojo?

  4. Mantén el valor de k en 0.5 y mueve el deslizador azul hasta el valor 3. ¿Cuánto vale el área del cuadrilátero rojo más pequeño respecto al área del cuadrilátero más grande (el original, también en rojo)?

  5. Mantén el valor de k en 0.5 y mueve el deslizador azul hasta su valor máximo (20). ¿Cómo son los perímetros de cada cuadrilátero de la serie respecto al cuadrilátero anterior? ¿Forman alguna progresión? ¿De qué tipo?

  6. Mantén el valor de k en 0.5 y el deslizador azul en su valor máximo. ¿Cómo son las áreas de cada cuadrilátero de la serie respecto al cuadrilátero anterior? ¿Forman alguna progresión? ¿De qué tipo?

  7. Mueve el deslizador azul hasta el valor 1. ¿Qué efecto provoca el movimiento del pequeño punto rojo en el pequeño punto azul? ¿Por qué? ¿Qué pasa cuando coinciden ambos puntos?

  8. Mantén el deslizador azul en el valor 1. Activa la casilla punto fijo. Puedes comprobar que el punto que aparece ocupa la misma posición tanto en el cuadrilátero rojo como en el azul. Mueve el deslizador azul hasta su máximo valor. ¿Ese punto ocupa la misma posición en todos los cuadriláteros? ¿Por qué?

  9. ¿Cómo debes colocar los puntos amarillos y azules para que las líneas que unen el punto fijo con los vértices de cada cuadrilátero se superpongan?

  10. ¿Por qué nunca cambia la posición del punto fijo al mover los puntos verdes?

 

 

 

 

 








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