Los puntos desde los cuales se ven los lados de un triángulo bajo ángulos de 60º o 120º se llaman puntos isogónicos. Son dos, I₁ e I₂.

Si el triángulo tiene un ángulo mayor que 120º entonces ambos quedan en su exterior, formando con los lados dos ángulos de 60º y uno de 120º. En caso contrario, el primer punto isogónico, I₁, cae en el interior del triángulo y forma con los lados ángulos iguales de 120º.

Esta actividad te ayudará a construir con total precisión cada uno de esos dos puntos. Recuerda que para seleccionar o mover los objetos debes dejar la herramienta que estés usando y usar la herramienta "Elige y Mueve".

Preguntas

1. En realidad, la única dificultad que encontraremos para construir los dos puntos isogónicos es el problema de diferenciar la parte exterior del triángulo de la parte interior. Para nosotros es muy fácil distinguir ambas partes, porque vemos el triángulo en su conjunto, pero para el proceso constructivo no es tan trivial.
   
   Comenzaremos, pues, viendo esta dificultad. Con la herramienta de GeoGebra "Polígono Regular" haz clic en A, luego en C y escribe 3 como número de puntos (vértices). Verás que se ha trazado un triángulo equilátero hacia el exterior del triángulo ABC. ¿Qué pasaría si primero hubieras hecho clic en C y luego en A? Compruébalo.

2. Pulsa el botón Reiniciar. Vuelve a construir el triángulo equilátero, con base AC, hacia el exterior del triángulo ABC.

   1. Haciendo clic derecho sobre el tercer vértice (seguramente nombrado D por GeoGebra) del triángulo equilátero, el opuesto a B, renómbralo como B3.

   2. Con la herramienta "Circunferencia dados Tres de sus Puntos" traza la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo equilátero: A, C y B3.

   3. Traza la recta que pasa por B3 y B. Esa recta cortará a la circunferencia, además de en B3, en otro punto. Veremos que es otro punto va a ser precisamente el punto donde se encontrarán las tres circunferencias, es decir, el primer punto isogónico, I₁. Compruébalo activando la casilla I₁.

   Esta construcción es sencilla, pero, como decíamos, tiene un gran problema. Mueve el vértice C al otro lado del lado AB. ¿Permanece el triángulo equilátero orientado hacia la parte exterior del triángulo ABC? ¿Sigue coincidiendo el punto de corte de la circunferencia y la recta con el verdadero punto I₁?

3. Reinicia de nuevo la aplicación. Una vez comprobada la dificultad de distinguir "hacia fuera" y "hacia dentro", vayamos con el remedio. Para cada lado del triángulo, observa que "hacia fuera" está siempre el semiplano donde no se encuentra el vértice opuesto a ese lado. Basándonos en esto, ya podemos construir sobre el lado AC el correspondiente triángulo equilátero "hacia fuera". Sigue los siguientes pasos:

   1. Crea el punto medio del lado AC. Renómbralo como B1 (si justo después de crear el punto medio escribes B1, GeoGebra entenderá que quieres renombrar el punto recién creado).

   2. Traza la mediatriz del lado AC.

   3. Traza la perpendicular a esa mediatriz desde el vértice opuesto B.

   4. Crea el punto de intersección de ambas rectas (herramienta "Intersección de Dos Objetos"). Renómbralo como B2. Oculta las rectas (clic derecho, desactivar "Muestra Objeto").

   5. Refleja (herramienta "Refleja Objeto por Punto") el punto B2 en el punto B1. Obtendrás el punto B2'.

   6. Traza la semirrecta con extremo en B1 que pasa por B2'. Esta semirrecta siempre apuntará "del lado hacia fuera". ¿Por qué? Mueve C al otro lado de AB para comprobarlo. Oculta los puntos B1, B2 y B2'.

   7. Traza la circunferencia con centro A que pasa por C.

   8. La circunferencia cortará a la semirrecta en un único punto. Créalo y renómbralo como B3. Este punto es el tercer vértice que buscábamos del triángulo equilátero con base AC. ¿Por qué? Oculta la semirrecta y la circunferencia.

4. Crea la circunferencia que pasa por los puntos A, C y B3. Todos los puntos de esta circunferencia verán el lado AC bajo un ángulo de 60º (en el arco mayor) o de 120º (en el arco menor). ¿Por qué?
   
   Traza la recta que pasa por B3 y B. Esa recta cortará a la circunferencia, además de en B3, en el punto donde se encontrarán las tres circunferencias, es decir, el primer punto isogónico, I₁. Comprueba la construcción activando la casilla I₁.

5. Repite el proceso anterior (preguntas 3 y 4) para los otros dos lados. Las tres circunferencias se intersecarán en un único punto. Ese punto es el primer punto isogónico I₁. (Comprueba la construcción activando la casilla I₁ si está desactivada.)

6. Por último, con la herramienta Ángulo, comprueba que desde I₁ se ven los tres lados del triángulo ABC con ángulos de 120º, a no ser que el triángulo ABC tenga un ángulo mayor que ese, en cuyo caso desde I₁ se verán los lados opuestos a los otros dos ángulos bajo ángulos de 60º.
   
   Nota: puedes impedir que los ángulos se visualicen como ángulos cóncavos (es decir, mayores que 180º) siguiendo el siguiente procedimiento:

   1. Clic derecho en cualquier ángulo. Elegir Propiedades.

   2. En la parte izquierda, clic sobre la palabra Ángulo (esto seleccionará todos los ángulos a la vez).

   3. En la pestaña Básico, desactiva la casilla "Admite Ángulos Cóncavos".

7. Reinicia la aplicación. La construcción del segundo punto isogónico, I₂, es muy similar. La única diferencia está en que no hace falta realizar el paso v de la pregunta 3, ya que en vez de trazar la semirrecta de B1 a B2' (es decir, "hacia fuera"), trazamos la semirrecta de extremo B1 que pasa por B2 (es decir, "hacia dentro").
   
   Con la herramienta Ángulo, comprueba que desde I₂ se ven dos lados bajo un ángulo de 60º y el tercero bajo un ángulo de 120º.

8. Reinicia la aplicación. Activa las casillas I₁ e I₂ para mostrar los puntos isogónicos. Estos dos puntos, junto con los vértices A, B y C determinan una cónica (ya que 5 puntos diferentes siempre lo hacen). Trázala usando la herramienta "Cónica dados Cinco de sus Puntos". Aparecerá una hipérbola equilátera, conocida como hipérbola de Kiepert.
   
   ¿Qué tiene de especial? Aparentemente, nada. Pero si trazas las medianas y las alturas, o activas las casillas G y H, podrás comprobar que tanto el baricentro G como el ortocentro H... ¡también están en esa hipérbola!

9. Con la herramienta "Punto Medio o Centro", crea el centro de la hipérbola de Kiepert. Después, une ese centro con el primer punto isogónico, I₁. Esa recta tampoco tiene nada de especial, a simple vista, pero adivina qué pasa si ahora activas la casilla K para mostrar la posición del punto simediano.