En esta actividad partimos del conocimiento de que una función de proporcionalidad inversa del tipo y = A/x tiene por gráfica una hipérbola equilátera centrada en el origen de coordenadas y asíntotas en los ejes cartesianos, donde el coeficiente "A", en valor absoluto, es el área del cuadrado determinado por el centro y un vértice de la hipérbola y su signo indica la colocación de la hipérbola (1º y 3º cuadrante si A es positivo y 2º y 4 si es negativo).

Una simple traslación del centro nos permitirá ahora generalizar la función de proporcionalidad inversa, obteniendo la función racional de primer grado: y = (a x + b) / (c x + d).

Preguntas

1. Mueve el vértice V. Puedes colocarlo en el primer o en el segundo cuadrante. ¿Qué relación existe entre las coordenadas de V y la ecuación de la función?

2. Haz clic en el botón Reiniciar. Mueve ahora el centro C, aproximadamente 0.4 unidades hacia la derecha y hacia arriba (para favorecer la distinción de las dos hipérbolas que aparecen). El movimiento que acabas de realizar se llama traslación. Al trasladar el centro has trasladado también todos los puntos del plano: el vértice V (muévelo), el punto P (muévelo) y toda la hipérbola se han desplazado por igual, así que no han variado su posición relativa respecto a unos nuevos ejes de coordenadas centrados en el nuevo centro C (x₀, y₀) de la hipérbola.
   
   Considerando las coordenadas (x₀, y₀) del centro C, ¿qué relación existe ahora entre la ecuación de la función y las coordenadas de V?

3. La posición de todos los puntos de la hipérbola ha variado respecto a los ejes de coordenadas reales. Así que para mantener la relación y = A/x que existía en todos los puntos de la hipérbola habrá que devolverlos a su anterior origen sumando a sus coordenadas el vector de traslación opuesto: (-x₀, -y₀). Observa en la construcción que, efectivamente, la posición del punto P respecto a los nuevos ejes es (x-x₀, y-y₀). La nueva ecuación de la hipérbola es, entonces: y-y₀ = A/(x-x₀), es decir,  y = A/(x-x₀) + y₀.
   
   Como y₀ puede escribirse como y₀(x-x₀)/(x-x₀), comprueba que la ecuación anterior es equivalente a:

4. Esta ecuación puede escribirse de la forma general y = (a x + b) /(c x + d). Si deseamos recuperar la información que aparece en la ecuación canónica y-y₀ = A/(x-x₀), solo tenemos que dividir por c el numerador y denominador (para dejar el coeficiente de x igual a 1 en el denominador) y comparar los coeficientes obtenidos. 

Por ejemplo, dada la función racional y = (4 x + 12)/(2 x -3), dividimos numerador y denominador por 2 para obtener la expresión equivalente y = (2 x + 6)/(x -1.5). Ahora solo tenemos que comparar esa expresión con la enmarcada en la pregunta 3, correspondiente al desarrollo de y-y₀ = A/(x-x₀).

Averigua de esta forma cuál es centro de esa hipérbola, cuánto mide la distancia entre un vértice de la hipérbola y su centro, y cómo está colocado el eje principal de la hipérbola (es decir, si es paralelo a la recta y = x o lo es a la recta y = -x).