En esta actividad exploraremos algunos de los elementos y características de la hipérbola. Observa que, al contrario de lo que sucede con la parábola, sus elementos no quedan determinados una vez fijados el foco y la recta directriz, sino que para determinarlos necesitamos conocer además el valor exacto de la excentricidad.

Preguntas

1. La distancia del foco a la directriz, es decir, la longitud del segmento p, se conoce como parámetro focal de la hipérbola. Recuerda que la hemos llamado "p" cuando contestes a las siguientes preguntas. ¿Cuál es la proporción entre el cateto mayor y el menor del triángulo rectángulo verde?

2. Activa la casilla Proporción constante. Explica qué se muestra y por qué. ¿Qué nombre recibe esa proporción constante?

3. Desactiva la casilla "Proporción constante". Activa la casilla Lado recto. En función del parámetro focal y la excentricidad, ¿cuánto mide el lado recto de una hipérbola?

4. Desactiva la casilla "Lado recto". Activa la casilla Eje principal, también llamado "eje focal". Explica qué se muestra y por qué.

5. Activa la casilla Primer vértice. Siempre en función de p y e, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia que aparece? ¿Cuánto vale la distancia FR? El vértice V es un punto de la hipérbola, que se encuentra en su eje principal.  Como está en la hipérbola debe cumplir que VF = e VD. ¿Por qué al trazar una paralela a DR por el punto E obtenemos su posición exacta? (Pista: fíjate en los triángulos VFE y DFR.)

6. Desactiva la casilla "Primer vértice". Activa la casilla Segundo vértice. ¿Cuánto vale la distancia FS? El vértice V' es un punto de la hipérbola, que se encuentra en su eje principal.  Como está en la hipérbola debe cumplir que V'F = e V'D. ¿Por qué al trazar una paralela a DS por el punto E obtenemos su posición exacta?

7. Desactiva la casilla "Segundo vértice". Activa la casilla Centro. El centro C es el punto medio entre los vértices. Observa que también podemos obtenerlo trazando una paralela a VS por el punto E. Eso significa que FC = e VC, es decir, la proporción entre la distancia del foco F al centro y la distancia del vértice V al centro es también igual a la excentricidad. ¿Por qué?

8. Desactiva la casilla Centro. Activa la casilla Eje secundario. ¿Cómo se construye el eje secundario? ¿Cómo es la hipérbola respecto a ese eje?

9. Activa la casillas Segunda directriz y Segundo foco. Explica qué se muestra y por qué. ¿Qué relación existe entre los puntos de la hipérbola y estos nuevos elementos?

10. La hipérbola también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia (en valor absoluto) de distancias a los dos focos es siempre constante. Esa diferencia constante tiene que equivaler a la distancia entre los vértices. ¿Por qué?
     

    Nota: No es difícil deducir que la diferencia (en valor absoluto) de distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos ha de ser constante. Como un punto de la hipérbola dista de cada foco la misma proporción (e) que de cada directriz, su diferencia de distancias a los focos es proporcional a la diferencia de distancias a las directrices, pero esta diferencia es (en valor absoluto) la distancia entre las directrices, que es constante.

11. Activa la casilla Distancia focal. ¿Cuál es la relación entre esta distancia entre los focos y la distancia entre los vértices?

12. Desactiva la casilla "Distancia focal". Activa la casilla Asíntotas. Son rectas a las que se aproximan (sin llegar nunca a alcanzarlas) los brazos curvos de la hipérbola. ¿Qué relación existe entre focos, vértices y las dimensiones del rectángulo azul? ¿Qué proporción guardan la diagonal y el ancho del rectángulo azul? ¿Cómo se construyen las asíntotas?

13. ¿Qué forma debe tener el rectángulo para que las asíntotas sean perpendiculares? En ese caso particular en que las asíntotas son perpendiculares, la hipérbola se denomina hipérbola equilátera. ¿A qué crees que se debe este nombre? El valor de la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera será siempre el mismo, exactamente . ¿Por qué?