Una ventana al caos

Christopher, el protagonista de la novela "El curioso incidente de un perro a medianoche", de Mark Haddon, relata en un pasaje del capítulo 151:

Muchas cosas son misterios. Pero eso no significa que no tengan una respuesta. Es solo que los científicos no han encontrado aún la respuesta.

...

He aquí una fórmula para una población de animales.

N_nueva = λ N_vieja (1 – N_vieja)

Y en esta fórmula N representa la densidad de población. Cuando N=1 la población es lo más grande que puede llegar a ser. Y cuando N=0 la población se ha extinguido. N_nueva es la población un año, y N_vieja es la población del año anterior. Y λ es lo que se llama una constante. Cuando λ es menor que 1, la población es cada vez más pequeña y se extingue. Y cuando λ está entre 1 y 3, la población crece y después se estabiliza, así (y estos gráficos también son hipotéticos):

Y cuando λ está entre 3 y 3.57, la población sigue ciclos así:

Pero cuando λ es mayor que 3.57, la población se vuelve caótica como en el primer gráfico.

Eso lo descubrieron Robert May y George Oster y Jim Yorke. Y significa que a veces las cosas son tan complicadas que es imposible predecir qué va a pasar a continuación, pero en realidad obedecen a unas reglas muy sencillas.

Y eso significa que, a veces, una población entera de ranas, o de gusanos, o de gente, puede morir sin razón alguna, solo porque así es como funcionan los números.

La ecuación a la que se refiere Christopher fue planteada en 1976 por el biólogo australiano Robert May para estudiar el crecimiento de una población de insectos en un ecosistema cerrado. Se la conoce como parábola logística de May.

En esta actividad vamos a investigar qué es lo que trata de explicarnos Christopher. Mediante deslizadores podremos variar los valores de la densidad de población inicial N y de la constante λ, que recibe el nombre de índice de vitalidad. A su vez la hoja de cálculo nos facilitará una lectura más precisa de los valores que vamos obteniendo.

Podremos percibir como en algunos procesos una pequeña variación de una de las variables provoca cambios inesperados en el resultado, algo que resulta característico de los fenómenos que se tratan de modelizar mediante la teoría del caos. Este fenómeno tiene mucho que ver con unas palabras que seguramente habrás escuchado en más de una ocasión: el efecto mariposa.

Preguntas

Investiga si es cierto, como afirma Christopher, que si el índice de vitalidad es menor que 1 la población es cada vez más pequeña y se extingue. Utiliza los deslizadores para cambiar el valor de λ (manteniendo λ<1) y de N. ¿Es cierta su afirmación? ¿Depende del valor de N?
¿Qué ocurre cuando λ=1?
Si el índice de vitalidad es 1.5 y la densidad de población inicial es 0.1, ¿cuál es la densidad de población al cabo de 3 años? ¿Crece indefinidamente la densidad de población o tiende a estabilizarse?
Mantén el valor de λ=1.5 y estudia lo que ocurre para otros valores de N. Escribe tus conclusiones.
Vete aumentando progresivamente el índice de vitalidad hasta alcanzar el valor λ=2.75. Para cada valor que fijes de λ, estudia lo que ocurre para distintos valores de N. ¿Se estabiliza la densidad de población en torno a algún valor? ¿Depende del valor de N que hayas tomado? Escribe tus conclusiones.
El valor en torno al que se estabiliza N recibe el nombre de atractor. Completa la siguiente tabla y trata de encontrar la relación entre el valor del atractor y el índice de vitalidad λ:

Índice de vitalidad (λ)	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75
Atractor (a)

Estudia ahora lo que ocurre cuando λ toma valores comprendidos entre 2.75 y 3.5. Para cada valor que fijes de λ, estudia lo que ocurre para distintos valores de N. ¿Se estabiliza la densidad de población en torno a algún valor? ¿Podremos estimar la densidad de población que habrá al cabo de un determinado número de años? ¿Te sirve para estos valores de λ la relación que has encontrado en el ejercicio 6?
Sigue aumentando el valor de λ y estudiando, para cada uno de ellos, distintos valores de N. ¿Qué ocurre cuando λ>3.5? ¿Existe algún valor de λ a partir del cual resulte imposible predecir la población al cabo de un determinado número de años?
¿Qué ocurre cuando λ>4? Escribe tus conclusiones.