Antes de que aparecieran las calculadoras y ordenadores se estudiaban diversos procedimientos para realizar cálculos complicados, como averiguar el exponente al que hay que elevar 10 para obtener 50, o hallar el valor de los ángulos del triángulo de lados 3, 4 y 5.

Muchos de esos procedimientos recurrían a un algoritmo, es decir, a una serie de pasos ordenados que había que realizar mecánicamente (esos algoritmos, u otros semejantes, son los que ahora usan las calculadoras).

Los procedimientos que aplicas para sumar, restar, multiplicar o dividir dos números de varias cifras, con lápiz y papel,  son ejemplos de algoritmos.

En esta actividad veremos la sencilla lógica en que se basa el algoritmo que se aplicaba para averiguar, con lápiz y papel, la raíz cuadrada (positiva) de un número.

Preguntas

1. Mueve el deslizador grande, correspondiente al área del cuadrado, hasta que señale el número 400 (para afinar, usa las teclas + y -). ¿Cuál es la raíz cuadrada de 400, es decir, cuánto mide el lado de ese cuadrado? Compruébalo moviendo el primer deslizador horizontal pequeño (el situado más arriba) hasta su extremo derecho. Se creará el cuadrado (azul) de la mayor decena que se puede encontrar. La aplicación da como "raíz calculada" el número 20. ¿Hay algún error en este resultado?

2. Mueve el deslizador grande hasta que señale el número 121. El  cuadrado tiene ahora un área de 121 unidades. Como puedes ver, ahora la mayor decena (10) que se puede encontrar para el lado no cubre todo el cuadrado. Mueve el siguiente deslizador para añadir unidades a esa decena. La aplicación da como "raíz calculada" el número 11. ¿Hay algún error en este resultado?

3. Observa el cálculo algebraico. La letra "r" es la raíz buscada. Sabemos que está entre 10 y 20, así que "r" toma un cierto valor "10+x", donde x son las unidades que faltan. Haciendo cuentas, llegamos a que x tiene que ser un número que cumpla (20+x)x=21. Ahora, tanteando, es fácil saber qué número es ese. ¿Cuánto vale x?

4. Observa la figura. Los dos cuadrados azules corresponden al cuadrado de 10 y al cuadrado de x. ¿En la expresión 100+10x+10x+x²=121, qué sumandos corresponden a los rectángulos amarillos?

5. Mueve el deslizador grande hasta que señale el número 625. La mayor decena (20) que se puede encontrar para el lado no cubre todo el cuadrado. La aplicación da como "raíz calculada" el número 25. ¿Hay algún error en este resultado?

6. Observa el cálculo algebraico. La letra "r" es la raíz buscada. Sabemos que está entre 20 y 30, así que "r" toma un cierto valor "20+x", donde x son las unidades que faltan. Haciendo cuentas, llegamos a que x tiene que ser un número tal que (40+x)x=225. Ahora, tanteando, es fácil saber qué número es ese. ¿Cuánto vale x?

7. Mueve el deslizador grande hasta que señale el número 895. De nuevo, la mayor decena (20) que se puede encontrar para el lado no cubre todo el cuadrado. Sigue aproximándote añadiendo nuevos cuadrados con los otros deslizadores (unidades, décimas, centésimas y milésimas). En cada paso, se repite el proceso (en teoría, indefinidamente). La aplicación da como "raíz calculada" el número 29.916. ¿Hay algún error en este resultado?

8. Observa el cálculo algebraico. Sabemos que "r" está entre 20 y 30, así que "r" toma un cierto valor "20 + x", donde x son las unidades que faltan. Haciendo cuentas, llegamos a que x tiene que ser un número tal que (40+x)x=495. Ahora, tanteando, vemos que x=9 se aproxima, pero no alcanza. ¿Cuánta área faltaría por cubrir? El siguiente paso consistiría en partir de (29+y)²=895 para hallar las décimas, y así sucesivamente.